Elektrotechnik – 2. Das elektrische Feld II

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

2. Das elektrische Feld

1. Elektrische Ladung
2. Coulomb’sches Gesetz
3. Elektrische Feldstärke
4. Feldlinien und Satz von Gauß
5. Elektrisches Feld in Materie
6. Potential, Spannung, Arbeit
7. Homogenes Feld und Kondensatoren

Elektron und Proton im selben Feld

Ein Elektron und ein Proton befinden sich nacheinander am selben Ort in einem elektrischen Feld .

Was gilt für die Kräfte auf die beiden Teilchen?

A) Gleicher Betrag, gleiche Richtung

B) Gleicher Betrag, entgegengesetzte Richtung

C) Auf das Elektron wirkt die größere Kraft, weil es leichter ist

D) Auf das Proton wirkt die größere Kraft, weil es schwerer ist

Feldlinien

• Feldlinien stellen Richtung und Stärke des elektrischen Feldes bildlich dar
• Sie verlaufen von positiven zu negativen Ladungen und zeigen die Richtung der Kraft an, die auf eine positive Probeladung wirken würde
• Je dichter die Linien, desto stärker das Feld

Interaktiv: E-Feld-Editor – Ladungen setzen, ziehen, Vorzeichen und Betrag ändern und die Feldlinien mitwandern sehen

Feldlinien: Beispiele

Feldlinien: Plattenkondensator

Zwischen zwei entgegengesetzt geladenen Platten: homogenes Feld (dazu gleich mehr)

Superpositionsprinzip

Das elektrische Feld mehrerer Ladungen ist die Vektorsumme der Felder der einzelnen Ladungen:

• Jede Ladung erzeugt ihr Feld unabhängig von den anderen – die Felder addieren sich
• Für kontinuierliche Ladungsverteilungen wird aus der Summe ein Integral (hier nicht vertieft)

Aufgabe 3a: Feldlinien

Zuerst auf Papier: Skizzieren Sie das Feldlinienbild zweier gleichnamiger Punktladungen, von denen eine die doppelte Ladung trägt. Wo ist das Feld null – genau in der Mitte, näher an der großen oder näher an der kleinen Ladung?
Erst danach mit dem E-Feld-Editor überprüfen.

Elektrische Flussdichte (electric flux density)

Anschaulich: misst, wie dicht die Feldlinien liegen.

Elektrischer Fluss (electric flux)

Wie viel Feld tritt durch eine Fläche ?

• homogen und senkrecht zur Fläche:
• unter dem Winkel zur Normale – nur der senkrechte Anteil zählt:
• nicht homogen: Fläche in kleine Stücke zerlegen und aufsummieren

: Flächenstück als Vektor in Richtung der Normale – das Skalarprodukt liefert den Faktor .

Satz von Gauß (Gauss’s law)

Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung:

Anschaulich: Feldlinien beginnen und enden nur auf Ladungen – was an Fluss „herauskommt“, muss von Ladung im Inneren stammen.

Der Kreis am Integral heißt: über die ganze Hülle summieren.

Beispiel: Punktladung mit dem Satz von Gauß

Bei hoher Symmetrie (Kugel, Zylinder, Ebene) ist auf der Hülle überall gleich groß und senkrecht – dann wird das Integral zum Produkt .

Kugeloberfläche mit Radius um eine Punktladung – ist überall auf der Kugel gleich groß und radial:

Das Coulomb-Feld aus Woche 1 – jetzt ohne Coulomb’sches Gesetz hergeleitet!

Elektrisches Feld in Materie

• In nicht oder schwach leitenden Materialien führen elektrische Felder zu Polarisation: die positiven und negativen Ladungen im Material verschieben sich gegeneinander
• Das erzeugt ein internes Gegenfeld, das das äußere Feld abschwächt
• Solche polarisierbaren Materialien nennt man Dielektrika

Abschwächung des Feldes in Dielektrika

mit der Permittivitätszahl (auch relative Permittivität):

Elektrische Flussdichte in Dielektrika

Konvention: bezieht sich immer auf das Feld der freien Ladungen:

Vorteil: der Satz von Gauß gilt unverändert, wenn man nur die freien Ladungen zählt:

Aufgabe 3b: Dielektrikum

Die Punktladung aus Aufgabe 2 befindet sich jetzt in destilliertem Wasser () statt im Vakuum. Wie groß sind und im Abstand ? Was ändert sich gegenüber dem Vakuum, was bleibt gleich? Begründen Sie mit dem Satz von Gauß.

Elektrische Arbeit im Feld

Bewegung einer positiven Probeladung im Feld einer positiven Punktladung :

• (nach außen): – Arbeit wird freigesetzt
• (nach innen): – Arbeit muss aufgebracht werden

Vgl. Mechanik: – aber hier ist abhängig von !

Von der Arbeit zum Potential

Die Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab, und die Probeladung steht als Faktor davor.

→ Der Rest ist eine Eigenschaft des Feldes allein: jedem Ort lässt sich eine Zahl zuordnen.

Elektrisches Potential und Äquipotentialflächen

Das elektrische Potential im Abstand von einer Punktladung :

Einheit: (Volt)

Punkte gleichen Potentials bilden Äquipotentialflächen. Sie stehen immer senkrecht auf den Feldlinien – entlang einer solchen Fläche wird keine Arbeit verrichtet.

Analogie: Gravitationspotential

• Höhenlinien auf der Landkarte = Äquipotentiallinien
• Die Kraft wirkt in Richtung des stärksten Gefälles (senkrecht zu den Höhenlinien)

Wo ist das Feld am stärksten?

Die blauen Linien sind Äquipotentiallinien.

An welchem der Punkte A, B, C, D ist der Betrag der elektrischen Feldstärke am größten?

Spannung & Arbeit

Elektrische Spannung (voltage) = Potentialdifferenz:

Elektrische Arbeit:

Die elektrische Arbeit ist unabhängig vom Weg!

Elektrostatische Felder sind Potentialfelder: Feldlinien beginnen/enden auf Ladungen („Quellen/Senken“) und sind nie in sich geschlossen.

Feld und Spannung

Allgemeiner Zusammenhang zwischen Feldstärke und Spannung:

Aufgabe 4: Spannung

Noch einmal die Punktladung (im Vakuum):

a) Welche Spannung besteht zwischen zwei Punkten, die bzw. von der Punktladung entfernt sind?

b) Ein Elektron wird von nach gebracht. Wie groß ist die Arbeit ? Wird Arbeit freigesetzt oder muss sie aufgebracht werden?

Zwischenstand & Ausblick

• Feldlinien: von + nach −, Dichte = Feldstärke; Äquipotentialflächen ⊥ Feldlinien
• Satz von Gauß: – mächtig bei Symmetrie
• Dielektrika schwächen das Feld: , bleibt gleich
• Potential , Spannung , Arbeit (wegunabhängig!)

Nächste Woche: Kondensatoren – Ladung speichern im homogenen Feld.